Cad iad an dá chineál iomadúil?

Cad iad an dá chineál iomadúil?

Réamhrá:
Is éard is iomadúil ann ná réad matamaitice a chuireann síos ar iompar áitiúil an spáis. Is féidir é a léirshamhlú mar dhromchla atá sínte agus lúbtha i dtreonna difriúla. San Airteagal seo, déanfaimid plé ar an dá chineál manifolds - manifolds topological agus manifolds difreáilte.

Iomláin Topological:
Is éard is iomadúil topological ann spás a bhfuil cuma áitiúil air mar spás Eiclídeach de thoise éigin. Ciallaíonn sé seo go bhfuil comharsanacht ag gach pointe sa iomadúil atá hoiméamorfach do thacar oscailte sa spás Eoiclídeach. Níl i gceist le toise an iomadúil ach an toise den spás Eoiclídeach atá cosúil leis go háitiúil.

Is féidir manifolds topological a rangú i gcineálacha éagsúla bunaithe ar a n-airíonna. Mar shampla, is éard is iomadúil nasctha ann ná ceann inar féidir dhá phointe ar bith a nascadh le cosán, agus is iomadúil dhlúth ceann atá teorantach agus dúnta. I measc cineálacha eile iomadúil tá iomadúil oirthearacha, iomadúil neamh-dhírithe, agus iomadúil teorann.

Manifolds Difreáilte:
Is éard is iomadúil difreálach ann spás a bhfuil cuma áitiúil air mar spás Eoiclídeach de thoise éigin agus a bhfuil struchtúr mín aige freisin. Ciallaíonn sé seo go bhfuil comharsanacht ag gach pointe sa iomadúil atá difreamorfach go tacair oscailte sa spás Eoiclídeach. Murab ionann agus iomadúil toipeolaíochta, tá coincheap míne ag iomadúil difreálach a ligeann dúinn díorthaigh agus oibreoirí difreálacha eile a shainiú.

Is féidir manifolds difreáilte a rangú i gcineálacha éagsúla bunaithe ar a n-airíonna freisin. Mar shampla, is iomadúil Riemannian é ceann atá feistithe le teannasóir méadrach a chuireann ar ár gcumas faid agus uillinneacha ar an iomadúil a thomhas. I measc cineálacha eile iomadúil tá iomadúil simplíocha, iomadúil casta, agus grúpaí bréaga.

An Gaol idir Ilghnéithe Topological agus Difreálacha:
Is iomadúil topological freisin gach iomadúil difreálach, ach ní iomadúil difreáilte gach iomadúil topological. I bhfocail eile, is coinníoll níos láidre é an réidh ná an leanúnachas. Ciallaíonn sé seo nach féidir struchtúr mín a thabhairt do roinnt iliomad topological agus mar sin ní féidir staidéar a dhéanamh orthu ag baint úsáide as teicnící difreálach.

Mar sin féin, tá naisc thábhachtacha idir an dá chineál seo iomadúil. Mar shampla, tá dlúthbhaint ag aicmiú maniffolds topological atá nasctha go simplí le haicmiú maniffolds difreáilte dlúthnasctha go simplí. Tugtar tuairimíocht Poincaré air seo, ceann de na fadhbanna is cáiliúla gan réiteach sa mhatamaitic go dtí gur chruthaigh Grigori Perelman é sa bhliain 2003.

Soláthraíonn coincheap iomadúil le teorainn nasc eile. Is éard is iomadúil topological le teorainn ann ná spás a bhfuil cuma áitiúil air mar leathspás dúnta de thoise éigin. Is iomadúil difreálach le teorainn ceann is féidir a bheith feistithe le struchtúr mín a fhágann go bhfuil an teorainn ina fo-ilghnéitheach mín. Tá teoiric na n-iliomadanna le teorainn tábhachtach i go leor réimsí matamaitice, lena n-áirítear anailís gheoiméadrach agus cothromóidí difreálach páirteach.

Conclúid:
Go hachomair, is rudaí matamaitice iad iomadúil a chuireann síos ar iompar áitiúil spásanna. Tá dhá chineál iomadúil ann - iomadúil topological agus iomadúil difreáilte. Is spásanna iad iomadúil toipeolaíochta atá cosúil go háitiúil le spás Eoiclídeach agus a bhfuil airíonna éagsúla acu is féidir a rangú. Tá struchtúr breise ag iomadúil difreálach a ligeann dúinn díorthaigh agus oibreoirí difreálacha eile a shainiú. Cé go bhfuil baint ag an dá chineál iomadúil, is riocht níos láidre é an réidh ná an leanúnachas, agus ní féidir struchtúr réidh a thabhairt do gach iomadúil topological.